Công Thức Tính Số Phức Liên Hợp

     

Số phức và những dạng toán về số phức là giữa những nội dung mà nhiều các bạn cảm thấy chúng tương đối trừu tượng cùng khá khó khăn hiểu, một phần nguyên nhân là họ đã thừa quen với số thực một trong những năm học trước.

Bạn đang xem: Công thức tính số phức liên hợp


Vì vậy, ở bài viết này thedelight.vn sẽ khối hệ thống lại các dạng toán về số phức đồng thời hướng dẫn bí quyết giải những dạng bài bác tập này. Trước lúc bắt tay vào giải những dạng bài xích tập số phức, các bạn cũng nên nhớ những nội dung về triết lý số phức.

I. Triết lý về Số phức

1. Số phức là gì?

Định nghĩa số phức

- Tập thích hợp số phức: 

*

- Số phức (dạng đại số):

 (, a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo i2 = -1)

♦ z là số thực ⇔ phần ảo của z bởi 0 (b = 0).

♦ z là thuần ảo ⇔ phần thực của z bằng 0 (a = 0).

♦ Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

♦ 2 số phức bằng nhau: 

*
*

2. Trình diễn hình học của số phức

- Số phức: , (được biểu diễn bởi điểm M(a,b) tuyệt bởi 

*
 trong phương diện phẳng Oxy (mp phức).
*

3. Phép cộng, trừ số phức

- cho 2 số phức: , khi đó:

*
*

*
*

- Số đối của:  là 

*

- Nếu 

*
 biểu diễn z, 
*
 biểu diễn z" thì 
*
 biểu diễn 
*
 và 
*
 biểu diễn 
*
.

4. Phép nhân 2 số phức

- đến 2 số phức: , khi đó:

*
 
*

*

5. Số phức liên hợp

- Số phức phối hợp của số phức 

*
 là 
*

♦ 

*
*
*
*
*

♦ z là số thực ⇔

*

♦ z là số thuần ảo: 

*

6. Phép phân chia số phức khác 0

♦ 

*

♦ 

*

♦ 

*

7. Mô-đun của số phức

- đến số phức: , thì:

*

♦ 

*
*

♦ 

*

♦ 

*

♦ 

*

8. Căn bậc 2 của số phức

♦ 

*
 là căn bậc 2 của số phức 
*
 
*

♦ w = 0 gồm đúng 1 căn bậc 2 là z = 0

♦ w≠ 0 bao gồm đúng 2 cặn bậc 2 đối nhau

♦ 2 căn bậc 2 của a > 0 là 

*

♦ 2 căn bậc 2 của a 9. Phương trình bậc 2 của số phức

- mang lại phương trình bậc 2 số phức gồm dạng: Az2 + Bz + C = 0, (*) (A,B,C là những số phức cho trước, A≠0).

- lúc đó: Δ = B2 - 4AC

- Δ ≠ 0, phương trình (*) gồm 2 nghiệm phân biệt: 

*

- Δ = 0, phương trình (*) có 1 nghiệm kép: 

*

* Chú ý: Nếu 

*
 là 1 nghiệm của (*) thì 
*
 cũng là 1 nghiệm của (*).

10. Dạng lượng giác của số phức

• z = r(cosφ + isinφ), r > 0 là dạng lượng giác của  (z≠0).

*

• φ là một trong acgumen của z, φ = (Ox,OM)

• 

*
,
*

11. Nhân phân tách số phức bên dưới dạng lượng giác

- mang lại z = r(cosφ + isinφ) với z" = r"(cosφ" + isinφ")

• 

*

*

12. Phương pháp Moivre (Moa-vrơ).

*
*

• 

*

13. Căn bậc 2 của số phức bên dưới dạng lượng giác

• đến z = r(cosφ + isinφ), r > 0 có căn bậc 2 là:

 

*
 và 
*
*

• Mở rộng: z = r(cosφ + isinφ), r > 0 có n căn bậc n là:

 

*
*

II. Các dạng toán về Số phức và phương pháp giải

Dạng 1: các phép tính về số phức

* phương thức giải: Vận dụng các công thức Cộng, Trừ, Nhân, Chia, Luỹ thừa và tính chất phép toán của số phức.

- Chú ý: Khi đo lường và thống kê các số thức rất có thể sử dụng hằng đẳng thức như số thực như bình phương của tổng, lập phương của tổng hay hiệu 2 số phức,...

° Ví dụ 1: mang lại số phức 

*
 Tính các số phức sau: 
*

° Lời giải:

+) Ta có: 

*

 +) Ta có: 

*
 
*

 

*
*

*
 
*

+) Ta có: 1 + z + z2 

*

* Tương tự: Cho số phức 

*
, hãy tính: 1 + z + z2

- Ta có:

*

*
*

° Ví dụ 2: Tính tổng sau:

a) K = 1 + i + i2 + i3 + ... + i2009

b) M = 

*

c) N = (1 - i)100

° Lời giải:

a) Ta có: 1 - i2010 = (1 - i)(1 + i + i2 + i3 +...+ i2009)

 Mà 1 - i2010 = 1 - (i2)1005 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2.

⇒ K = 1 + i + i2 + i3 +...+ i2009 =

*
*

b) M là tổng của 10 số hạng đầu tiên của 1 cung cấp số nhân với số hạng thứ nhất là u1 = 1, bội q = (1 + i)2 = 2i. Ta có:

 

*
 
*

c)

*
 
*

° Ví dụ 3: cho 2 số phức z1, z2 thoả 

*
,
*
 tính 
*

° Lời giải:

- Đặt 

*

- trường đoản cú giải thiết ta có: 

*

⇒ 2(a1b1 + a2b2) = 1

⇒ (a1 - a2)2 + (b1 - b2)2 = 1

⇒ |z1 - z2| = 1.

 Dạng 2: Tìm số phức thoả đk cho trước (giải phương trình số phức)

* phương thức giải: Vận dụng các đặc điểm của số phức, những phép biến hóa để giải quyết và xử lý bài toán.

° ví dụ 1: tra cứu số phức z thoả mãn

a)

b)

° Lời giải:

a) 

 

*
 
*
*

b) 

*
*
 (*)

 mà 

*

 thế x = 1 vào (*) ta được y = ±1.

 Vậy số phức buộc phải tìm là 1 + i cùng 1 - i.

° Ví dụ 2: Tìm số phức z thoả mãn

a)  

b) 

*
, và z2 là số thuần ảo.

° Lời giải:

a) 

- Ta có: 

*

+) TH1:

*

+) TH2: 

*

 

*

 Dạng 3: xác định phần thực phần ảo, tra cứu đối số, nghịch đảo module, phối hợp của số phức và biểu diễn hình học tập của số phức

* phương pháp giải: Dạng này chia làm nhiều loại bài toán tương quan tới đặc điểm của số phức.

♦ các loại 1: search phần thực phần ảo của số phức

- biện pháp giải: chuyển đổi số phức về dạng z = a + bi, suy ra phần thực là a, phần ảo là b.

° Ví dụ 1: Tìm phần thực phần ảo của số phức sau:

a) z = i + (2 - 4i) - (3 - 5i)

b) z = (-1 + i)3 - (2i)3

c) 

° Lời giải:

a) z = i + (2 - 4i) - (3 - 5i) = (2 - 3) + (1 - 4 + 5)i = -1 + 2i

⇒ Vậy số phức đã cho gồm phần thực là -1; phần ảo là 2.

b) z = (-1 + i)3 - (2i)3 = (-1 + i3 + 3i - 3i2) - 8i3 = (-1 - i + 3i + 3) + 8i = 2 + 10i

⇒ Vậy số phức sẽ cho bao gồm phần thực là 2; phần ảo là 10.

c)  

*
 
*

 

*
 
*

° Ví dụ 2: Tìm phần thực phần ảo của số phức sau:

a) u = z1 - 2z2 cùng với z1 = 1 + 2i; z2 = 2 - 3i

b) v = z1z2 với z1 = 2 + 5i; z2 = 3 - 4i

° Lời giải:

a) u = z1 - 2z2 = (1 + 2i) - 2(2 - 3i) = (1 - 4) + (2 + 6)i = -3 + 8i

⇒ Vậy số phức đang cho tất cả phần thực là -3; phần ảo là 8.

b) v = z1z2 với z1 = 2 + 5i; z2 = 3 - 4i = (2 + 5i)(3 - 4i) = (6 - 8i + 15i - 20i2) = 26 + 7i

⇒ Vậy số phức đã cho có phần thực là 26; phần ảo là 7.

♦ loại 2: trình diễn hình học của số phức

- biện pháp giải: thực hiện điểm M(a;b) trình diễn số phức z trên mặt phẳng Oxy

° Ví dụ 1: Trong khía cạnh phẳng toạ độ (hình vẽ dưới), số phức z = 3 - 4i được trình diễn bởi điểm nào trong các điểm A, B, C, D?

*
° Lời giải:

- Đáp án: Điểm D(3;-4) là trình diễn hình học của số phức z=3-4i

° Ví dụ 2: Số phức như thế nào có màn trình diễn hình học là toạ độ điểm M như hình sau:

*
° Lời giải:

- Điểm M(-2;1) là biểu diễn hình học tập của số phức z=-2+i

♦ một số loại 3: Tính Module của số phức

- bí quyết giải: đổi khác số phức về dạng z = a + bi ⇒ mô-đun là 

° Ví dụ 1: tra cứu mô-đun của số phức sau: 

° Lời giải:

- có

*
 = 1 - 3i - 3 + i = -2 - 2i

⇒  

*

° Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn

*
, tìm mô-đun của số phức 
*

° Lời giải:

- Ta có: 

*

 

*

 

*

♦ các loại 4: tìm kiếm số đối của số phức

- biện pháp giải: chuyển đổi số phức về dạng z = a + bi ⇒ đối số của z là -z = -a - bi

° Ví dụ: Tìm số đối của số phức sau:

a)

b) 

° Lời giải: 

a) 

*

b) 

*
 
*

♦ nhiều loại 5: tra cứu số phức liên hợp của số phức z

- bí quyết giải: thay đổi số phức về dạng z = a + bi ⇒ số phức phối hợp của z là 

*

° Ví dụ 1: Tìm số phức liên hợp của số phức sau: 

*

° Lời giải: 

- Ta có: 

*
 
*

⇒ Số phức liên hợp của z là: 

*

° Ví dụ 2: Cho z = a+ bi tìm số phức liên hợp của z và giải phương trình 

*
.

Xem thêm: Gắn Địa Chỉ Lên Google Map S Chỉ Trong 1 Phút, Gắn Nhãn Riêng Tư Cho Địa Điểm

° Lời giải: 

- Ta có 

*
*

- lúc đó: 

*

- Giải hệ này ta được những nghiệm

*

♦ các loại 6: tra cứu số phức nghịch đảo của số phức

- biện pháp giải: thực hiện công thức: 

*

° Ví dụ : Tìm nghịch hòn đảo của số phức sau:

a)

b)  

° Lời giải: 

a) 

- Ta có:

*
*

*

b) 

- Ta có:

*
,
*

*

Loại 7: Tìm các số thực lúc 2 số phức bởi nhau.

- cách giải: thực hiện công thức: 

*

° Ví dụ : Tìm các số nguyên x với y làm sao cho z = x + yi vừa lòng z3 = 18 + 26i

° Lời giải: 

- Ta có: 

*

*

- Giải phương trình trên bằng cách đặt y = tx (x≠0) ta được 

*

⇒ z = 3+ i

 Dạng 4: Tìm quỹ tích số phức (tập hợp những điểm) thoả mãn đk cho trước.

* phương thức giải:

♦ một số loại 1: Số phức z thoả mãn về độ lâu năm (module) khi ấy ta áp dụng công thức 

♦ một số loại 2: Số phức z là số thực (âm hoặc dương), khi ấy ta sử dụng kết quả

 - Để z là số thực ⇔ b=0

 - Đẻ z là số thực âm ⇔ a 0 và b = 0.

 - Để z là số thuần ảo ⇔ a = 0.

° Ví dụ : Tìm tập phù hợp điểm M màn trình diễn số phức z thoả

a) 

*
 có phần thực = 3

b) 

*
 là số thực

c) 

*

° Lời giải: 

a) Gọi điểm M(x;y) ta có:

 

*

 

*

 Với 

*

- Theo bài ra,

 

*

- với x ≠ 0 với y≠ 2 ta có:

*

⇒ Vậy tập phù hợp điểm M là mặt đường tròn tâm 

*
 bán kính 
*

b) gọi N là điểm biểu diễn số phức 

*

*
 là số thực ⇔ 
*
 song tuy nhiên với Ox

- Vậy quỹ tích của M là mặt đường thẳng qua N và tuy nhiên song với Ox, chính là đường trực tiếp y = -3.

c) hotline I là điểm biểu diễn của số phức 

*

- khi đó: 

*

- Vậy quỹ tích của M là con đường tròn trọng tâm I(1;-2) nửa đường kính R = 1.

 Dạng 5: Chứng minh các biểu thức về số phức

* phương thức giải: Vận dụng các phép toán về số phức (cộng, trừ, nhân, chia, số phức liên hợp, mô-đun).

° Ví dụ 1: Cho số phức z thoả điều kiện . Chứng minh 

*

° Lời giải: 

- Ta có:  

*

 hay 

*
(1)

- Đặt z=x+yi, cùng với x,y ∈ R, từ bỏ (1) ta có:

 

*
 
*

*
 
*

*
*

*
 (đpcm).

° Ví dụ 2: Cho 2 số phức z1 và z2 , chứng minh rằng:

a) 

*

b) 

*

° Lời giải: 

a) Ta có:

 

*
 
*

 

*
 
*

⇒ Vậy VT=VP (đpcm).

b) Ta có:

 

*

 

*

 

*

  (1)

- khía cạnh khác:

 

*
 
*

Vì 

*
 nên 
*
(2)

- tự (1) cùng (2) có VT=VP (đpcm)

 Dạng 6: Căn bậc 2 của số phức cùng phương trình bậc 2

* phương thức giải:

° Cho số phức: z = a + bi, số phức w = x + yi, được điện thoại tư vấn là căn bậc 2 của số phức z nếu như w2 = z xuất xắc (x + yi)2 = a + bi.

- lưu ý:

♦ lúc b = 0 thì z = a, ta có 2 trường hợp dễ dàng sạ:

 ◊ TH1: a > 0 ⇒ 

*

 ◊ TH1: a 2 = a + bi, xuất xắc x2 - y2 + 2xyi = a + bi 

*
, giải hệ này ta được x,y.

° Phương trình bậc 2 với hệ số phức

- Là phương trình bao gồm dạng: az2 + bz + c = 0, trong những số ấy a, b, c là các số phức a≠0

- phương pháp giải: Xét biệt thức 

*
.

 » Nếu Δ=0 phương trình có nghiệp kép: 

*

 » Nếu Δ≠0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 

*

- Định lý Vi-ét: gọi z1, z2 là 2 nghiệm của phương trình az2 + bz + c = 0 lúc đó, ta có: 

*
 
*

° Ví dụ 1: Tìm căn bậc 2 của số phức sau:

a) z = 5

b) z = -7

c)

* Lời giải:

a) 

*

b) 

*

c) Gọi 

*
 là căn bậc 2 của số phức , ta có:

 

*
 
*

 

*
 
*
 
*
 
*

 Vậy hệ pt trên tất cả 2 nghiệm 

*
.

° Ví dụ 2: Trên tập số phức, tìm kiếm m nhằm phương trình bậc hai: z2 + mz + i = 0 (*) có  với z1, z2 là nghiệm của (*).

* Lời giải:

- điện thoại tư vấn m=a+bi với a,b∈R.

- Theo bài bác toán, ta có:  

*

 Theo Vi-ét: z1+z2=-m, z1z2=i nên:

*
.

- Vậy ta bao gồm hệ: 

*

⇒ m=1-i hoặc m=-1+i.

° Ví dụ 3: Giải phương trình sau trên tập số phức:

a) z2 - 2z + 17 = 0

b) z2 + (2i+1)z + 1 - 5i = 0

c) 

*

* Lời giải:

a) Ta có: z2 - 2z + 17 = 0 ⇔ z2 - 2z + 1 = -16 ⇔ (z + 1)2 = 16i2 

⇔ (z + 1)2 = (4i)2 nên phương trình tất cả 2 nghiệm phức: z1 = -1-4i; z2 = -1+4i

b) Ta có: 

*
 
*
 
*

⇒ phương trình đang cho tất cả 2 nghiệm z1=1+i; z2=-2-3i.

 Dạng 7: Phương trình quy về phương trình bậc 2

* phương thức giải: Đặt ẩn phụ và đem lại phương trình bậc 2 tính Δ.

° Ví dụ 1: Giải phương trình phức sau: 

*

* Lời giải:

- dìm thấy, z=0 chưa phải nghiệm của phương trình đề nghị chia 2 vế đến z2, ta được: 

*

*

*

- Đặt 

*
, thi (*) trở thành: 
*

*
 
*

*
 hoặc 
*

- với

*
 
*
 

*
 hoặc
*

- với

*
*

 

*
 hoặc 
*

- Vậy phương trình (*) bao gồm 4 nghiệm: 

*

° Ví dụ 2: Giải các phương trình phức sau:

a) 

*

b) 

*

c) 

*

d) 

*

e) 

*

* Lời giải:

a) Đặt t = z2, khi ấy pt trở thành: 

 

*

- Với 

*

- Với 

*

b) nhận ra z=0 không phải là nghiệm của phương trình buộc phải chia 2 vế pt cho z2 ta được:

 

*

*

*
 (*)

- Đặt 

*
, khi ấy pt (*) trở thành: 
*
 
*
 hoặc 
*

- Với 

*
 và 
*

- Với 

*
hoặc 
*

c) Đáp án: 

*

d) Đáp án: 

*
*

 Dạng 8: Dạng lượng giác của số phức

* cách thức giải:

° Công thức De - Moivre: Là công thức gốc rễ cho một loạt công thức quan trọng đặc biệt khác như phép luỹ thừa, khai căn số phức, công thức Euler.

- phương pháp 1: 

*

- bí quyết 2: 

*

- Số phức z=a+bi ta có: 

*

*
,

với 

*
 và góc φ được gọi là argument của z cam kết hiệu là arg(z). Ngược lại với phép luỹ quá ta tất cả phép khai căn.

° Ví dụ 1: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác, từ đó hãy viết dạng đại số của z2012

a) 

*

b) 

*

c) 

*

* Lời giải:

a) Ta có:

 

*
 
*
*

*

- Vậy 

*

*
 
*

- Vậy z2012=-23018

b) Ta có:

 

*
*

*
*
*

c) Ta có:

 

*
 
*
*

*

*

 

*

 

*

° Ví dụ 2: Gọi z1, z2 là nghiệp của phương trình: 

*
, tính giá trị của biểu thức: Q=z12012 + z22012

* Lời giải:

- Ta có: 

*

- Lại có: 

*
 và 
*
 
*

⇒ Phương trình sẽ cho có 2 nghiệm: 

*

- khía cạnh khác 

*

*

*

*

° Ví dụ 3: Giải phương trình: 

*

* Lời giải:

- Đặt 

*
 thì 
*

- Phương trình đã mang đến trở thành: 

*

 

*
 (*)

- vị z=-1 chưa hẳn là nghiệm của phương trình bắt buộc nhân 2 vế (*) cùng với (z+1) ta được:

*
 
*

*

- Nên 

*
 vì z≠-1 nên không sở hữu và nhận giá trị k=3.

- Vậy phương trình vẫn cho bao gồm nghiệm: 

*
 
*
 
*
 
*
 
*
 
*
 với 
*
.

 Dạng 9: Tìm rất trị của số phức

* cách thức giải: Vận dụng kỹ năng tìm rất trị

° lấy một ví dụ 1: Cho số phức z thoả mãn 

*
, tìm số phức z có modul nhỏ tuổi nhất.

Xem thêm: +3 Cách Tra Cứu Lịch Sử Cuộc Gọi Của Viettel, Mobifone, Vinaphone

* Lời giải:

- Đặt 

*
, lúc đó 
*

*
. Vị vậy các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn vấn đề nằm trê tuyến phố tròn chổ chính giữa I(4;-3) nửa đường kính R=3.

- Vậy |z| đạt giá bán trị bé dại nhất khi và chỉ còn khi điểm M∈(C) và gần O nhất. Lúc đó M là giao điểm của (C) và con đường thẳng OI, với M là giao điểm ngay sát O rộng và 

*