Các Cách Phân Tích Đa Thức Thành Nhân Tử

     

Phân tích đa thức thành nhân tử là kỹ năng và kiến thức cơ sở cho những bài học tập về nhân chia solo thức, nhiều thức đặc biệt trong các biểu thức phân số có chứa đổi mới trong chương trình toán 8 và cả những lớp sau này.

Bạn đang xem: Các cách phân tích đa thức thành nhân tử


Chính vị vậy, mà câu hỏi nắm vững các cách phân tích nhiều thức thành nhân tử bằng phương thức đặt nhân tử chung, đội hạng tử, hay cách thức dùng hằng đẳng thức là vấn đề rất đề xuất thiết. Bài viết dưới đây sẽ tổng phù hợp các phương thức phân tích đa thức thành nhân tử và vận dụng giải những dạng bài bác tập này.

I. Các phương pháp phân tích nhiều thức thành nhân tử

1. Phân tích nhiều thức thành nhân tử bằng phương thức đặt nhân tử chung

* Phương pháp:

Tìm nhân tử thông thường là những đối chọi thức, đa thức xuất hiện trong tất cả các hạng tử.

- so với mỗi hạng tử các kết quả của nhân tử chung và một nhân tử khác.

- Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của từng hạng tử vào trong vệt ngoặc (và cả lốt của chúng).

 * Ví dụ. phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

 a) 15x3 - 5x2 + 10x = 5x.(3x2) + 5x.(-x) + 5x.(2) = 5x(3x2 - x + 2)

 b) 28x2y2 - 21xy2 + 14x2y = 7xy.(4xy) + 7xy.(-3y) + 7xy.(2x) = 7xy(4xy - 3y + 2x)

2. Phân tích nhiều thức thành nhân tử với cách thức dùng hằng đẳng thức

* Phương pháp:

- đổi khác đa thức bạn đầu về dạng thân thuộc của hằng đẳng thức, kế tiếp sử dụng hằng đẳng thức để làm xuất hiên nhân tử chung.

Cần chú ý đến việc vận dụng linh hoạt những hằng đẳng thức đáng nhớ:

 ♦ (A+B)2= A2+2AB+B2

 ♦ (A–B)2= A2– 2AB+ B2

 ♦ A2–B2= (A-B)(A+B)

 ♦ (A+B)3= A3+3A2B +3AB2+B3

 ♦ (A – B)3= A3- 3A2B+ 3AB2- B3

 ♦ A3+ B3= (A+B)(A2- AB +B2)

 ♦ A3- B3= (A- B)(A2+ AB+ B2)

 ♦ (A+B+C)2= A2+ B2+C2+2 AB+ 2AC+ 2BC

* Chú ý: a+b= -(-a-b) ; (a+b)2= (-a-b)2 ; (a-b)2= (b-a)2 ; (a+b)3= -(-a-b)3 ; (a-b)3=-(-a+b)3

* Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

 a) 9x2 – 4 = (3x)2 – 22 = ( 3x– 2)(3x + 2)

 b) 8 – 27x3y6 = 23 – (3xy2)3 = (2 – 3xy2)(4 + 6xy2  + 9x2y4)

 c) 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2

3. Cách phân tích nhiều thức thành nhân tử bằng cách thức nhóm những hạng tử

* Phương pháp:

- phối hợp các hạng tử tương thích thành từng nhóm.

- Áp dụng tiếp tục các cách thức đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức.

* Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

 a) 2x3 – 3x2 + 2x – 3 = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3)

= 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1) = ( x2 + 1)( 2x – 3)

 b) x2 – 2xy + y2 – 16 = (x – y)2 - 42 = ( x – y – 4)( x –y + 4)

4. Cách thêm giảm 1 hạng tử hoặc tách bóc hạng tử nhằm phân tích nhiều thức thành nhân tử

* Phương pháp:

- vận dụng thêm sút hạng tử linh hoạt để đưa về đội hạng tử bình thường hoặc dùng hằng đẳng thức

 * Ví dụ: Phân tích các nhiều thức sau thành nhân tử

 a) x4 + 4 = x4 + (4x2 - 4x2) + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2 = (x2+2)2 - 4x2

= (x2+2-2x)(x2+2+2x)

 b) x4 + 1 = x4 + 2x2 - 2x2 + 1 = x4 + 2x2 + 1 - 2x2 = (x2+1)2 - 2x2 = (x2+1)2 - (x√2)2

= (x2+1-x√2)(x2+1+x√2)

 c) 3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 8x + 16 - 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) = 3(x2 - 4) + 8(x+2)

 =3(x-2)(x+2) + 8(x+2) =(x + 2)<3(x-2)+8> =(x + 2)(3x + 2)

 hoặc: 3x2 + 8x + 4 = 4x2 - x2 + 8x + 4 = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2

 = (2x + 2 – x)(2x + 2 + x) = (x + 2)(3x + 2)

5. Phối đúng theo nhiều phương thức để phân tích đa thức thành nhân tử

* Phương pháp: Sử dụng các phương thức trên theo lắp thêm tự ưu tiên.

- phương thức đặt nhân tử chung.

- cách thức dùng hằng đẳng thức.

- phương thức nhóm nhiều hạng tử.

 * Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

 a) 3xy2 - 6xy + 3x

= 3x(y2 – 2y + 1) (đặt nhân tử chung)

= 3x(y – 1)2 (dùng hằng đẳng thức (A–B)2= A2– 2AB+ B2 trong công đoạn này A là y B là 1)

 b) 2x2 + 4x + 2 - 2y2

= 2((x2 + 2x +1) - y2) (đặt nhân tử chung)

= 2((x+1)2 - y2) (dùng hằng đẳng thức: (A+B)2= A2+2AB+B2) trong đoạn này A là x; B là 1)

= 2(x+1-y)(x+1+y) (dùng hằng đẳng thức: A2–B2= (A-B)(A+B) trong bước này A là x+ 1 còn B là y)

*

II. áp dụng giải một số trong những dạng bài xích tập phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 39 trang 19 skg toán 8 tập 1: Phân tích nhiều thức thành nhân tử

 a) 3x - 6y;

 b)

*
;

 c) 14x2y – 21xy2 + 28x2y2;

 d)

*
;

 e) 10x(x - y) - 8y(y - x).

* giải thuật bài 39 trang 19 skg toán 8 tập 1:

 a) 3x - 6y = 3(x-2y)

 b)

*
*

 c) 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x - 7xy.3y +7xy.4xy = 7xy(2x-3y+4xy)

 d) 

*
*

 e) 10x(x - y) - 8y(y - x)

- Ta thấy: y - x = –(x – y) đề xuất ta có:

 10x(x - y) - 8y(y - x) =10x(x - y) - 8y<-(x - y)> =10x(x - y) + 8y(x - y) =2(x-y)(5x+4y)

Bài 40 trang 19 skg toán 8 tập 1: Tính giá trị của biểu thức

a) 15.91,5 + 150.0,85;

b) x(x - 1) - y(1 - x) trên x = 2001 và y = 1999.

Xem thêm: 30/4: Có Nên Chấm Dứt Bắn Pháo Hoa Ăn Mừng Để Hòa, Tp Hcm Hủy Bắn Pháo Hoa Mừng Lễ 30/4

* lời giải bài 40 trang 19 skg toán 8 tập 1:

- lưu lại ý: với dạng bài tập này chúng ta cần phân tích hạng tử để lộ diện nhân tử chung rồi so sánh thành nhân tử trước lúc tính giá trị.

a) 15.91,5 + 150.0,85 =15.91,5 + 15.10.0,85 =15(91,5 + 10.0,85) =15(91,5 + 8,5) =15.100 =1500.

b) x(x - 1) - y(1 - x)

- Ta thấy: 1 - x = -(x - 1) bắt buộc ta có:

 x(x - 1) - y(1 - x) =x(x-1)-y<-(x-1)> =x(x-1)+y(x-1) =(x-1)(x+y)

- Thay x = 2001 với y = 1999 ta được: (2001-1)(2001+1999) =2000.4000 =8000000

Bài 41 trang 19 skg toán 8 tập 1: Tìm x, biết:

a) 5x(x -2000) - x + 2000 = 0;

b) x3 – 13x = 0

* giải mã bài 41 trang 19 skg toán 8 tập 1:

a) 5x(x -2000) - x + 2000 = 0

⇔ 5x(x – 2000) – (x – 2000) = 0

⇔ (x – 2000).(5x – 1) = 0

*
*

- tóm lại có 2 quý hiếm x bằng lòng là x = 2000 và x = 1/5.

b) x3 = 13x ⇔ x3 – 13x = 0 ⇔ x(x2 – 13) = 0

*
 ⇔
*

- Kết luận: Có ba giá trị của x thỏa mãn nhu cầu là x = 0, x = √13 với x = –√13.

Bài 42 trang 19 skg toán 8 tập 1:  minh chứng rằng 55n + 1 – 55n chia hết cho 54 (với n là số trường đoản cú nhiên)

* Lời giải Bài 42 trang 19 skg toán 8 tập 1: 

- Ta có: 55n + 1 – 55n = 55n.55 - 55n = 55n (55 - 1) = 55n.54

- bởi vì 54 phân chia hết cho 54 cần 55n.54 luôn chia hết cho 54 với n là số tự nhiên.

⇒ Vậy 55n + 1 – 55n chia hết đến 54.

Bài 43 trang trăng tròn skg toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x2 + 6x + 9; b) 10x – 25 – x2

c) ; d)

* lời giải bài 43 trang trăng tròn skg toán 8 tập 1:

a) x2 + 6x + 9 = (x)2 + 2.(x).(3) + (3)2 = (x+3)2

b) 10x – 25 – x2 = –(–10x + 25 + x2) = –(x2 - 10x + 25)

= –<(x)2 – 2.(5).(x) + (5)2> = –(x–5)2

c)

*
*
*

d) 

*
*

Bài 44 trang trăng tròn skg toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a)  ; b) (a + b)3 – (a – b)3 

c) (a + b)3 + (a – b)3 ;

d) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3

e) - x3 + 9x2 – 27x + 27.

* giải mã bài 44 trang trăng tròn skg toán 8 tập 1: 

a)

*
*
*

b) (a + b)3 – (a – b)3

= <(a + b) – (a – b)> . <(a + b)2 + (a + b).(a – b) + (a – b)2>

= (a + b – a + b) . (a2 + 2ab + b2 + a2 – b2+ a2 – 2ab + b2)

= 2b.(3a2+ b2)

c) (a + b)3 + (a – b)3

= <(a + b) + (a – b)> . <(a + b)2 – (a + b)(a –b) + (a – b)2>

= <(a + b) + (a – b)> . <(a2 + 2ab + b2) – (a2 – b2) + (a2 – 2ab + b2)>

= (a + b + a – b) . (a2 + 2ab + b2 – a2 + b2 + a2 – 2ab + b2)

= 2a.(a2 + 3b2)

d) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + 3.(2x)2.y + 3.2x.y2 + y3 = (2x + y)3

e) –x3 + 9x2 – 27x + 27= (–x)3 + 3.(–x)2.3 + 3.(–x).32 + 33 = (–x + 3)3 = (3 – x)3

Bài 45 trang đôi mươi skg toán 8 tập 1: Tìm x, biết:

a) 2 - 25x2 = 0

b) 

* giải mã bài 45 trang 20 skg toán 8 tập 1:

a) 2 - 25x2 = 0 

*
*
*

- Kết luận: vậy bao gồm 2 nghiệm thoả là x = -√2/5 và x= √2/5.

b) 

*
*
*

- Kết luận: vậy có 1 nghiệm thoả là x=1/2.

Bài 46 trang 21 skg toán 8 tập 1: Tính nhanh

a) 732 - 272 ; b) 372 - 132 ; c) 20022 - 22

* giải mã bài 46 trang 21 skg toán 8 tập 1:

a) 732 – 272 = (73 + 27)(73 – 27) = 100.46 = 4600

b) 372 – 132 = (37 + 13)(37 – 13) = 50.24 = 100.12 = 1200

c) 20022 – 22 = (2002 + 2)(2002 – 2) = 2004 .2000 = 4008000

Bài 47 trang 22 skg toán 8 tập 1: Phân tích những đa thức sau thành nhân tử

a) x2 –xy + x – y

b) xz + yz – 5(x + y)

c) 3x2 – 3xy – 5x + 5y

* giải thuật bài 47 trang 22 skg toán 8 tập 1:

a) x2 – xy + x – y

+) Cách 1: Nhóm nhì hạng tử thiết bị 1 cùng thứ 2, hạng tử thứ 3 cùng thứ 4

 x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + (x – y)= (x – y)(x + 1)

+) giải pháp 2: Nhóm hạng tử thứ 1 với thứ 3 ; hạng tử thứ 2 và máy 4

 x2 – xy + x – y = (x2 + x) – (xy + y)= x.(x + 1) – y.(x + 1) = (x + 1)(x – y)

b) xz + yz – 5(x + y) = (xz + yz) – 5(x + y) = z(x + y) – 5(x + y) = (x + y)(z – 5)

c) 3x2 – 3xy – 5x + 5y

+) Cách 1: Nhóm nhì hạng tử đầu tiên với nhau và hai hạng tử cuối với nhau:

 3x2 – 3xy – 5x + 5y = (3x2 – 3xy) – (5x – 5y) = 3x(x – y) – 5(x – y) = (x – y)(3x – 5)

+) giải pháp 2: Nhóm hạng tử lần đầu với hạng tử lắp thêm 3; hạng tử thứ 2 với hạng tử lắp thêm 4:

 3x2 – 3xy – 5x + 5y = (3x2 – 5x) – (3xy – 5y) = x(3x – 5) – y(3x – 5)= (3x – 5)(x – y).

Bài 48 trang 22 skg toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) x2 + 4x –y2 + 4

b) 3x2 + 6xy + 3y2 – 3z2

c) x2 – 2xy + y2 – z2 + 2zt – t2

* lời giải Bài 48 trang 22 skg toán 8 tập 1:

a) x2 + 4x – y2 + 4

= (x2 + 4x + 4) – y2

= (x + 2)2 – y2 

= (x + 2 – y)(x + 2 + y)

b) 3x2 + 6xy + 3y2 – 3z2 

= 3.(x2 + 2xy + y2 – z2)

= 3<(x2 + 2xy + y2) – z2>

= 3<(x + y)2 – z2>

= 3(x + y – z)(x + y + z)

c) x2 – 2xy + y2 – z2 + 2zt – t2 

= (x2 – 2xy + y2) – (z2 – 2zt + t2) 

= (x – y)2 – (z – t)2

= <(x – y) – (z – t)><(x – y) + (z – t)>

= (x – y – z + t)(x – y + z –t)

Bài 50 trang 23 sgk toán 8 tập 1: Tìm x, biết:

a) x(x – 2) + x – 2 = 0

b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0

* giải mã bài 50 trang 23 sgk toán 8 tập 1:

a) x(x – 2) + x – 2 = 0

⇔ (x – 2)(x + 1) = 0

*
 
*

- Kết luận: vậy x = – 1 hoặc x = 2.

b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0

⇔ 5x(x – 3) – (x – 3) = 0

⇔ (x – 3)(5x – 1) = 0

*
*
*

- Kết luận: vậy x = 3 hoặc x = 1/5.

Bài 51 trang 24 sgk toán 8 tập 1: Phân tích những đa thức sau thành nhân tử:

a) x3 – 2x2 + x.

b) 2x2 + 4x + 2 – 2y2

c) 2xy – x2 – y2 + 16

* giải mã bài 51 trang 24 sgk toán 8 tập 1:

a) x3 – 2x2 + x

= x.x2 – x.2x + x.1

= x(x2 – 2x + 1)

= x(x – 1)2

b) 2x2 + 4x + 2 – 2y2 

= 2.(x2 + 2x + 1 – y2)

= 2<(x2 + 2x + 1) – y2>

= 2<(x + 1)2 – y2>

= 2(x + 1 – y)(x + 1 + y)

c) 2xy – x2 – y2 + 16

= 16 – (x2 – 2xy + y2) 

= 42 – (x – y)2

= <4 – (x – y)><4 + (x + y)>

= (4 – x + y)(4 + x – y).

Bài 52 trang 24 sgk toán 8 tập 1: Chứng minh rằng (5n + 2)2 – 4 phân chia hết mang đến 5 với mọi số nguyên n.

* giải thuật bài 52 trang 24 sgk toán 8 tập 1:

- Ta có: (5n + 2)2 – 4 = (5n + 2)2 – 22 = (5n + 2 – 2)(5n + 2 + 2)= 5n(5n + 4)

- vày 5 ⋮ 5 đề nghị 5n(5n + 4) ⋮ 5 ∀n ∈ Ζ.

Xem thêm: "Choáng" Với Ngôn Ngữ Giới Trẻ Hiện Nay (9 Mẫu), Choáng Với Ngôn Ngữ Tự Chế Của Giới Trẻ

⇒ Vậy (5n + 2)2 – 4 luôn luôn chia hết đến 5 cùng với n ∈ Ζ

Bài 53 trang 24 sgk toán 8 tập 1: Phân tích những đa thức sau thành nhân tử:

a) x2 – 3x + 2

b) x2 + x – 6

c) x2 + 5x + 6

(Gợi ý : Ta ko thể vận dụng ngay các phương thức đã học để phân tích cơ mà nếu tách bóc hạng tử - 3x = - x – 2x thì ta bao gồm x2 – 3x + 2 = x2 – x – 2x + 2 và từ đó dễ dàng phân tích tiếp.

Cũng tất cả thể bóc 2 = - 4 + 6, khi ấy ta bao gồm x2 – 3x + 2 = x2 – 4 – 3x + 6, từ bỏ đó dễ ợt phân tích tiếp)